$\def\R{\mathbb{R}}$ $\def\C{\mathbb{C}}$ $\def\cF{\mathcal{F}}$ $\def\veps{\varepsilon}$ $\def\vphi{\varphi}$ $\def\a{\alpha}$ $\def\l{\lambda}$ $\def\rank{{\rm rank}}$ $\def\star{*}$ $\def\frobnorm{\norm{\cdot}_\cF}$ $\def\tx{\widetilde{x}}$ $\def\tb{\widetilde{b}}$ $\def\tphi{\widetilde{\phi}}$ $\def\cO{\mathcal{O}}$ $\newcommand{norm}[1]{\|#1\|}$ $\newcommand{Rnorm}[1]{\|#1\|_R}$ $\newcommand{abs}[1]{|#1|}$ $\newcommand{set}[1]{\lbrace#1\rbrace}$ $\def\ty{\widetilde{y}}$
Die nachfolgenden Korrekturhinweise werden in unregelmäßigen zeitlichen Abständen ergänzt und chronologisch aufsteigend sortiert. Inhaltlich relevante Korrekturen sind durch einen Stern markiert.
Letzte Aktualisierung: 22. April 2023
| Nr. | Rel. | Seite(n) | Korrektur |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | Beispiel 1.3: ... ist für betragsmäßig große Zahlen $x\in \R$ gut konditioniert. | |
| 2 | 12 | Satz 2.1: ... und seien $x,\tx,b,\tb \in \R^n \setminus \set{0}$, sodass ... | |
| 3 | 17 | Lemma 3.2: ... folgt für $1\le i,k\le n$ ... | |
| 4 | 18 | Zusatz vor Alg. 3.2: Im folgenden Algorithmus werden abwechselnd die Zeilen von $U$ and Spalten von $L$ bestimmt. | |
| 5 | 19 | Lemma 3.4: Gilt $A=LL^T$, so ... | |
| 6 | 23 | Alg. 4.1: Die Matrix $A^{(k)}$ erfülle $a_{ij}^{(k)}=0$ für $1\le j\le k-1$ und ... | |
| 7 | 24 | Zusatz in Satz 4.1: Die Matrix lässt sich ohne Zusatzaufwand bestimmen. | |
| 8 | * | 25 | Erste Zeile: Ersetze obere durch untere Dreiecksmatrix. |
| 9 | 25 | Alg. 4.2: Das end der $i$-Schleife sollte nach dem end der $j$-Schleife stehen. | |
| 10 | * | 26 | Beispiel 4.2: Die Reihenfolge der Variablen $x_1$ und $x_2$ sollte bei der Zeilenvertauschung nicht geändert werden. |
| 11 | 27 | Ersetze $a_{11}^1$ durch $a_{11}^{(1)}$ in der Identität für $A^{(k)}$. | |
| 12 | * | 36 | Letzte Zeile Beweis von Satz 5.2: ... erfüllen $\abs{r_{ii}} = \norm{a_i}_2 \neq 0$. |
| 13 | 40 | Satz 6.1: Die Zahlen $\sigma_i$, $i=1,2,\dots,p$, heißen Singulärwerte von $A$ und sind genau ... | |
| 14 | 45 | Bem. 7.4: ... und gilt $\rank A = m$, d.h. sind die Nebenbedingungen linear unabhängig, ... | |
| 15 | 52 | Erste Zeile: Für normale ... gut konditioniertes Problem bezüglich absolutem Fehler. | |
| 16 | 56 | Ergänze Leerzeichen: Lemma 8.1 ([5]). | |
| 17 | 57 | Erste Formel: Ersetze $R_k \dots R_1$ durch $R_k \dots R_0$ (zweimal). | |
| 18 | 65/66 | Beginn S. 65 und Korollar 9.1: Ersetze $\Phi(x)= Mx+s$ bzw. $\Phi(x)=Mx+b$ durch $\Phi(x)=Mx+c$. | |
| 19 | 66 | Erste Formel: Ergänze $D_\veps^{-1} R D_\veps = [\veps^{-(i-1)}r_{ij} \veps^{j-1}]_{i,j=1,2,\dots,n} = ...$ | |
| 20 | * | 70 | Bemerkung 9.5 (ii) ist inkorrekt und ist zu streichen. (Siehe Korrektur 29.) |
| 21 | * | 25 | Alg. 4.2: Ersetze $y=U^{-1}b$ durch $y=L^{-1}b$ sowie durch durch mittels. |
| 22 | 31 | Das Residuum sollte durch $r=b-Ax$ definiert werden. | |
| 23 | 56 | Eine Herleitung des QR-Verfahrens findet sich im pdf-Dokument qr_herleitung.pdf | |
| 24 | 7 | Bem. 1.3: Es gilt $\abs{\phi(x)-\tphi(\tx)}/\abs{\phi(x)} \le c_{stab} \abs{\phi(x)-\phi(\tx)}/\abs{\phi(x)} \le c_{stab} c_{cond} \abs{x-\tx}/\abs{x}$. | |
| 25 | 45 | Beispiel zu Def. 7.5: Die Ecke $z=[0,1]$ ist nichtentartet fuer $A = [0,1]$, $b= 1$, aber entartet im Fall $A = [0,1;0,2]$, $b = [1,2]^T$. | |
| 26 | 58/59 | Vertausche Vorzeichen von $s$ in der Darstellung $G_{pq}=[...]$ und eliminiere negatives Vorzeichen in der Formel für $s$ in Lemma 8.3. | |
| 27 | 67 | Es wird vorausgesetzt, dass $D$ regulär ist. | |
| 28 | 68 | Bsp. 9.3: Die Bandmatrizen aus Bsp. 9.2 sind irreduzibel aufgrund der Implikation $i\in I \implies i+1 \in I$ für $1\le i\le n-1$. | |
| 29 | 70 | Bem. 9.5: Die Voraussetzungen sind hinreichend aber nicht notwendig, da beispielsweise reguläre Diagonalmatrizen diagonaldominant und reduzibel sind, das Jacobi und das Gauß-Seidel-Verfahren jedoch in einem Schritt die exakte Lösung bestimmen. Im Allgemeinen werden beide Bedingungen benötigt: Die Matrix $A_2 = [1,1;-1,1]$ ist irreduzibel und nicht diagonaldominant während $A_3 = [1,1,0;-1,1,0;0,0,1]$ diagonaldominant und nicht irreduzibel ist. In beiden Fällen realisiert die Iterationsmatrix des Jacobi-Verfahrens eine Drehung um $\pi/2$ in der x-y-Ebene und ist somit im Allgemeinen nicht konvergent. | |
| 30 | 6 | Ersetze 2 durch 4 in $\veps_\phi \le 2 \veps_x$. | |
| 31 | 27 | Ersetze $k$ durch $A^{(k)}$ in ... Spalten von $k$ ... | |
| 32 | 35 | Ersetze $r_1 \in \R^{n-2}$ durch $r_2 \in \R^{n-2}$ in ... und einem Vektor $r_1$ ... | |
| 33 | 52 | Ersetze - durch + in $\lambda_k = a - e^{2ik\pi/n}$. | |
| 34 | 54 | Statt $\norm{a-b}$ sollte es $\norm{a+b}$ heißen. |
| Nr. | Rel. | Seite(n) | Korrektur |
|---|---|---|---|
| 1 | 86 | Satz 11.3: Ergänze ... und $j=1,\dots,n$. | |
| 2 | 88 | Abbildung 11.5: Die Bezeichnungen $T_3$ und $T_4$ sind vertauscht. | |
| 3 | * | 89 | Beweis von Satz 11.4: ... mit wechselndem Vorzeichen annimmt ... gilt, folgt dass $s_0,s_1,\dots,s_n$ keine Nullstellen von $p$ sind und die Funktionswerte alternierende Vorzeichen haben. |
| 4 | * | 91 | Satz 11.6: Ersetze $\prod_{i=0}^n \abs{x-x_i}^{\ell+1}$ durch $(b-a)^{N+1}$ in zweiter Formel. |
| 5 | * | 113 | Beispiel 14.2: Ersetze $f(a_\ell)-f(a_{\ell-1})$ durch $f(a_\ell)+f(a_{\ell-1})$. |
| 6 | 114 | Beweis von Lemma 14.1: Ersetze $I(f)>0$ und $Q(f)=0$ durch $I(p)>0$ und $Q(p) = 0$. | |
| 7 | 119 | Beispiel 14.7: Abbildung 14.4 (statt eine Skizze) zeigt; Komma nach $(h,e_h)$. | |
| 8 | 125 | Beweis von Satz 15.2: ... mit einer Funktion $\vphi:\R^n\to \R^n$, die $\vphi(z) \le {c_2} \norm{z}^2$ erfüllt; ersetze $\vphi(\norm{x^\star-x^k})$ durch $\vphi(x^\star-x^k)$. | |
| 9 | 128 | Satz 15.4: Ersetze $\norm{D^2f(x)}$ durch $\norm{D^2g(x)}$. | |
| 10 | 131 | Korrigiere: Mit einer Variante des Abstiegsverfahrens erhält man ... | |
| 11 | 136 | Beweis von Satz 16.1: Ersetze $-c_2 A^2 - c_kA^k$ durch $-c_2 A^2 ... - c_kA^k$ in vorletzter Formel. | |
| 12 | 139 | Anwendung 16.1: Ersetze zur normierten Anzahl $h^{-2}$ der Partikel durch invers proportional zum Flächeninhalt $h^2$. | |
| 13 | 75 | Beispiel 10.1: Zur Betrachtung des relativen Fehlers am Punkt $x=1$ sind die Funktionen $\phi(x) = \abs{x-1}^s+1$ in (i) und $\phi(x)={\rm sign}(x-1)+2$ in (ii) besser geeignet. | |
| 14 | * | 77 | Bemerkung 10.2 (ii): Für normalisierte Gleitkommazahlen $g$ gilt $g_\min \le \abs{g} \le g_\max$ mit $g_\min= b^{e_\min-1}$ und $g_\max = b^{e_\max}(1-b^{-p})$. Im Fall $b=2$, $e_\min=0$, $e_\max = 3$, $p=2$ sind die normalisierten Gleitkommazahlen gegeben durch $\pm \set{2/4,3/4,2/2,3/2,2/1,3/1,2\cdot 2,3\cdot 2}$, die Menge der nicht-normalisierten Gleitkommazahlen enthalt zusätzlich die Zahlen $\pm \set{0,1/4}$. |
| 15 | 78 | Beispiel 10.5. (i): Die Aussage gilt für normalisierte Gleitkommazahlen zwischen $b^e$ und $b^{e+1}$ mit $e_\min-1 \le e \le e_\max -1$. | |
| 16 | 79 | Beweis zu Lemma 10.1: Ersetze Maschinenzahlen durch normalisierte Gleitkommazahlen | |
| 17 | 86 | Beispiel 11.1: Ein einfacheres Beispiel ist durch die Funktion $f(x) = \ln(x)$ im Intervall $[1,2]$ gegeben. | |
| 18 | 89 | Abbildung 11.6 (links): Der erste Punkt sollte auf dem Halbkreis beim Bogenabschnitt $\pi/18$ liegen und die weiteren in Abständen von $\pi/9$ folgen, sodass insgesamt neun Punkte gleichverteilt auf dem Halbkreis liegen (Skizze), denn es wird das Polynom $T_{n+1}$ mit $n=8$ betrachtet. | |
| 19 | 91 | Satz 11.6: In der Fehlerabschätzung ist auf der rechten Seite das Maximum des Produkts auf dem Intervall $[a,b]$ zu betrachten. | |
| 20 | 98 | Satz 12.5: In der letzten Formel des Satzes ist das Argument $(x)$ zu ergänzen. | |
| 21 | 111 | Dritte Formel: Die Anwendung der Quadraturformel ist mit $Q(f)$ zu bezeichnen. | |
| 22 | 116 | Die Anwendungen des Integrals und der Quadraturformel sollten mit $I_\omega(f)$ beziehungsweise $Q_\omega(f)$ bezeichnet werden. | |
| 23 | 135 | Alg. 16.1: Das Abbruchkriterium ist durch $\norm{Ax^k-b}/\norm{b} = \norm{r^k}/\norm{b} \le \veps_{stop}$ zu ersetzen. | |
| 24 | 145 | Alg. 17.2: Man beachte, dass die unvollständige Cholesky-Zerlegung ohne weitere Voraussetzungen an $A$ nicht regulär sein muss, was als Pivot-Breakdown bezeichnet wird. | |
| 25 | 89 | Zusatz zum Satz beginnend mit Die Nullstellen: ... des Satzes, der zeigt, dass für sie die Supremumsnorm des Stützstellenpolynoms minimal ist. | |
| 26 | * | 107 | Ersetze $3n/2$ durch $3n/4$ in den großen Klammern nach dem zweiten Pfeil in der Formel für $\mathcal{A}(n)$. |
| 27 | 142 | Ersetze CCS-Format durch Koordinatenformat im Satz vor Bem. 17.1. | |
| 28 | 151 | Der Subindex $n^d$ bzw. $n^2$ ist durch $n$ zu ersetzen in Def. 18.4. und im Beweis von Satz 18.1. | |
| 29 | 151 | Ergänze in Bem. 18.1: Es gilt ${\rm dim}\, Q_1(A) = 2^d$ und ${\rm dim}\, P_1(A) = d+1$, was gerade der Anzahl von Ecken von Parallelepipeden bzw. Simplizes im Raum $\R^d$ entspricht. | |
| 30 | 117 | Allgemeiner ist die Entwicklung $T(h) = T(0)+ c_1 h^\gamma + c_2 h^{\gamma+1} + o(h^{\gamma+1})$, sodass $T(0)$ durch $T^*(h)$ mit der Ordnung $O(h^{\gamma+1})$ approximiert wird. | |
| 31 | 91 | Ersetze $w(\xi)$ durch $w(x)$ in letzter Zeile des Beweises. | |
| 32 | 127 | Streiche Satz Der Parameter ... gewählt werden. in Bemerkung 15.5 |
| Nr. | Rel. | Seite(n) | Korrektur |
|---|---|---|---|
| 1 | 162 | Bemerkung 19.1: Ersetze zweites (iii) durch (iv). | |
| 2 | * | 188 | Abschnitt 22.2: Streiche mittiges $\alpha_\ell$ in der Formel nach ``Die rechte Seite ...''. |
| 3 | * | 190 | Tabelle 22.2: Ersetze unterste Zeile >>0 0<< durch >>1/2 1/2<< (ganz rechts). |
| 4 | 203/204 | Tabelle 23.1 und 23.2: Vertausche Beschreibungen. | |
| 5 | 209 | Beispiel 24.1: Für die Startwerte $y_0 = 1$ und $y_1 = (1+\delta)$ ergeben sich die Linearkoeffizienten $\gamma_1 = 1+\delta/6$ und ... | |
| 6 | 212 | Satz 24.1: ... sodass mit der durch die Norm $\Rnorm{\cdot}:x\mapsto \norm{Rx}_\infty$ induzierten ... | |
| 7 | * | 188 | S. 188 (oben): Ersetze $\tau^2/4$ durch $\tau^2/8$ (zweimal). |
| 8 | * | 190 | Tab. 22.2: Vertausche erste und zweite Zeile. |
| 9 | 190 | Bemerkung 22.3: Ersetze $t$ durch $t_k$. | |
| 10 | * | 202 | Beweis von Satz 23.1: Ersetze $f(t_k,z(t_{k+\ell}))$ durch $f(t_{k+\ell},z(t_{k+\ell}))$. |
| 11 | * | 205 | Beweis von Satz 23.2: Ersetze $z(t_k)$ durch $z(t_{k+m-1})$ (dreimal) und ersetze $\cO(\tau^{m+1})$ durch $\cO(\tau^{m+2})$ (zweimal). |
| 12 | 209 | Beispiel 24.1: Streiche drei und z_k=1. | |
| 13 | 210 | Bemerkung 24.2: Ergänze: ... (halb-) einfach sind, das heißt ihre algebraischen den geometrischen Vielfachheiten entsprechen. (Siehe Korrektur 20.) | |
| 14 | * | 214 | Beweis von Satz 24.2: Ersetze $c''$ durch $c'$ und $c'''$ durch $c''$ sowie $2(c''-c')$ durch $4 c'$. |
| 15 | 218 | Definition 25.1: Ergänze: ... Jacobi-Matrix ... bezüglich $y$ ... | |
| 16 | 218 | Bemerkung 25.1: Ergänze: ... kleine Werte $s\ge 0$ im Fall einer autonomen Gleichung ... | |
| 17 | 221 | Beweis von Satz 25.1: Korrigiere Sei $\lambda \in \C$ mit $\abs{\lambda}=1$. und ergänze $\abs{y(\tau)-y_1}\le c \tau^{p+1} = c \abs{\tau \lambda}^{p+1}$. | |
| 18 | * | 222 | Mitte: Ersetze unbedingt durch für $\tau<1/\mu$. |
| 19 | 223 | Bemerkung 25.3 (i): Ersetze: Im Fall der Beschränktheit $G\ge -c$ folgt durch Aus der Koerzivität von $G$ folgt. | |
| 20 | 211 | Ersetze Satz "Existieren ... auf.", Beispiel 24.2 sowie Bemerkung 24.2 durch folgendes Beispiel: Mehrfache Nullstellen $\l \in \C$ mit $\abs{\l} \ge 1$ führen stets (und unabhängig von ihrer geometrischen Vielfachheit) zu unbeschränkten Lösungen, denn gilt $p(\l) = p'(\l)=0$, so folgt für $y_k = k \l^k$, dass $\sum \a_\ell y_{k+\ell} = k \l^k \sum \a_\ell \l^\ell + \l^{k+1} \sum \a_\ell \ell \l^{\ell-1} = k \l^k p(\l) + \l^{k+1} p'(\l) = 0$. | |
| 21 | 220 | Ersetze $\tau_\ell$ durch $\a_\ell \tau$ in der Formel für $\eta_\ell^k$. | |
| 22 | 238 | Ergänze Faktor $1/2$ für die gesamte rechte Seite der vorletzten Formel $H(q_\ell,p_\ell)-H(q_0,p_0) = ...$. Ersetze $\tau$ durch $\tau/2$ in unterer und oberer Schranke für $H(q_\ell,p_\ell)$. | |
| 23 | * | 240 | Ergänze partielle Ableitungen $\partial_2 f$ und $\partial_3 f$ von $f$ in der Formel für $v''$. |
| 24 | 231 | Allgemeiner ist die Entwicklung $\varphi(\tau^p) = c_1 \tau^p + c_2 \tau^{p+1} + o(\tau^{p+1})$, sodass $y(t_k)$ durch den extrapolierten Wert $\ty^\tau_k$ mit der Ordnung $O(\tau^{p+1})$ approximiert wird. | |
| 25 | 192 | Ergänze implizites Euler-Verfahren in Beschreibung von Tab. 22.4. | |
| 26 | 212 | Statt $T\in \C^{k\times k}$ sollte es $T \in \C^{m\times m}$ heißen. | |
| 27 | 213 | Bei der Angabe des Definitionsbereichs von $\Psi$ fehlt ein Faktor $\R^m$. | |
| 28 | 241 | Ersetze $y_k$ durch $y_{k+1}$ in der ersten Zeile von Beispiel 27.5. |
| Nr. | Rel. | Seite(n) | Korrektur |
|---|---|---|---|
| 1 | * | 247 | Aufgabe 28.2.1 (iv): Ersetze Spektralnorm durch Spektralradius. Zusatz: Zeigen Sie, dass diese Aussage für die Spektralnorm im Allgemeinen nicht gilt. |
| 2 | 267 | Aufgabe 28.8.3 (ii): ... ein Eigenvektor der symmetrischen Matrix $A\in \R^{n\times n}$ ... | |
| 3 | 269 | Aufgabe 28.8.9: Ersetze $\norm{\cdot}_F$ durch $\frobnorm$ (dreimal). | |
| 4 | 276 | Aufgabe 29.1.8: Die Gleitkommaaddition sei durch $(x+_Gy) = {\rm rd}(x+y)$ gegeben. | |
| 5 | * | 278 | Aufgabe 29.2.5: Im Fall $n$ ungerade ist der Faktor $(-1)^{n/2}$ durch den Faktor $(-1)^{(n+1)/2}$ zu ersetzen. Statt der Formel $\sin(x)\cos(x)=(1/2)\sin(2x)$ sollte die allgemeinere Formel $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ bereitgestellt werden. |
| 6 | * | 269 | Aufgabe 28.8.8: Eliminiere Vorzeichen in Formel für $s$. |
| 7 | 279 | Aufgabe 29.2.7: Ersetze $q_{n-1}\in P_n$ durch $q_{n-1}\in P_{n-1}$ in Teil (ii). | |
| 8 | 290 | Projekt 29.5.2: Im Zähler des Ausdrucks für $\widehat{d}_h f(x)$ sollte $f(x+h)-f(x-h)$ stehen. | |
| 9 | 272 | Aufgabe 28.9.8: Die Nullmatrix $0$ sollte die Dimensionen $k,\ell>0$ mit $k+\ell=n$ besitzen. | |
| 10 | * | 291 | Aufgabe 29.6.5: Streiche Teil (ii). |
| 11 | * | 310 | Aufgabe 30.2.10: Ersetze $f=\nabla g$ durch $f=-\nabla g$. |
| 12 | 328 | Aufgabe 30.8.8: Ersetze $3p$ durch $p+2$ und ergänze ... im Fall $p=1$ am Ende. |
| Nr. | Rel. | Seite(n) | Korrektur |
|---|---|---|---|
| 1 | * | 336 | Erste Formel: Ergänze Faktor $v_{ij}$ in Laplacescher Entwicklungsformel $\det V = ...$. |
| 2 | 337 | Mitte: In diesem Fall haben $A$ und $D$ dieselben Eigenwerte und diese sind durch ... | |
| 3 | * | 341 | Abschnitt 32.4: $\ell$-fache Nullstelle ... falls ... $f^{(j)}(x_0)=0$ für $j = 0,\dots,\ell-1$. |
| 4 | 343-349 | Eine Einführung in die Sprache C++ findet sich im pdf-Dokument cpp-intro.pdf. | |
| 5 | * | 359-367 | Versionen der Beispielprogramme in C++: lu_solution.cc, neville_scheme.cc, implicit_euler.cc |
| 6 | 339 | Ersetze $\varphi(\abs{x-x_0})$ durch $\varphi(x-x_0)$. | |
| 7 | 341 | Ersetze $\varphi(\abs{x-x_0}^{k+1})$ und $\varphi(\abs{x-x_0}^k)$ durch $\varphi(x-x_0)$. | |
| 8 | 340 | Ersetze dreimal $n$ durch $k$ in Taylor-Formel und Voraussetzung. |
Vielen Dank für wertvolle Korrekturhinweise an: Benedikt Albrecht, Julian Baier, Patrick Dondl und Nick Seinsche
