Korrigenda Numerik 3x9

$\def\R{\mathbb{R}}$ $\def\C{\mathbb{C}}$ $\def\cF{\mathcal{F}}$ $\def\veps{\varepsilon}$ $\def\vphi{\varphi}$ $\def\rank{{\rm rank}}$ $\def\star{*}$ $\def\frobnorm{\norm{\cdot}_\cF}$ $\def\tx{\widetilde{x}}$ $\def\tb{\widetilde{b}}$ $\def\cO{\mathcal{O}}$ $\newcommand{norm}[1]{\|#1\|}$ $\newcommand{Rnorm}[1]{\|#1\|_R}$ $\newcommand{abs}[1]{|#1|}$ $\newcommand{set}[1]{\lbrace#1\rbrace}$

Die nachfolgenden Korrekturhinweise werden in unregelmäßigen zeitlichen Abständen ergänzt und chronologisch aufsteigend sortiert. Inhaltlich relevante Korrekturen sind durch einen Stern markiert.

Letzte Aktualisierung: 20. November 2018

Teil I: Numerische lineare Algebra

Nr. Rel. Seite(n) Korrektur
1 6 Beispiel 1.3: ... ist für betragsmäßig große Zahlen $x\in \R$ gut konditioniert.
2 12 Satz 2.1: ... und seien $x,\tx,b,\tb \in \R^n \setminus \set{0}$, sodass ...
3 17 Lemma 3.2: ... folgt für $1\le i,k\le n$ ...
4 18 Zusatz vor Alg. 3.2: Im folgenden Algorithmus werden abwechselnd die Zeilen von $U$ and Spalten von $L$ bestimmt.
5 19 Lemma 3.4: Gilt $A=LL^T$, so ...
6 23 Alg. 4.1: Die Matrix $A^{(k)}$ erfülle $a_{ij}^{(k)}=0$ für $1\le j\le k-1$ und ...
7 24 Zusatz in Satz 4.1: Die Matrix lässt sich ohne Zusatzaufwand bestimmen.
8 * 25 Erste Zeile: Ersetze obere durch untere Dreiecksmatrix.
9 25 Alg. 4.2: Das end der $i$-Schleife sollte nach dem end der $j$-Schleife stehen.
10 * 26 Beispiel 4.2: Die Reihenfolge der Variablen $x_1$ und $x_2$ sollte bei der Zeilenvertauschung nicht geändert werden.
11 27 Ersetze $a_{11}^1$ durch $a_{11}^{(1)}$ in der Identität für $A^{(k)}$.
12 * 36 Letzte Zeile Beweis von Satz 5.2: ... erfüllen $\abs{r_{ii}} = \norm{a_i}_2 \neq 0$.
13 40 Satz 6.1: Die Zahlen $\sigma_i$, $i=1,2,\dots,p$, heißen Singulärwerte von $A$ und sind genau ...
14 45 Bem. 7.4: ... und gilt $\rank A = m$, d.h. sind die Nebenbedingungen linear unabhängig, ...
15 52 Erste Zeile: Für normale ... gut konditioniertes Problem bezüglich absolutem Fehler.
16 56 Ergänze Leerzeichen: Lemma 8.1 ([5]).
17 57 Erste Formel: Ersetze $R_k \dots R_1$ durch $R_k \dots R_0$ (zweimal).
18 65/66 Beginn S. 65 und Korollar 9.1: Ersetze $\Phi(x)= Mx+s$ bzw. $\Phi(x)=Mx+b$ durch $\Phi(x)=Mx+c$.
19 66 Erste Formel: Ergänze $D_\veps^{-1} R D_\veps = [\veps^{-(i-1)}r_{ij} \veps^{j-1}]_{i,j=1,2,\dots,n} = ...$
20 * 70 Bemerkung 9.5 (ii) ist inkorrekt und ist zu streichen.
21 * 25 Alg. 4.2: Ersetze $y=U^{-1}b$ durch $y=L^{-1}b$ sowie durch durch mittels.
22 31 Das Residuum sollte durch $r=b-Ax$ definiert werden.

Teil II: Numerische Analysis

Nr. Rel. Seite(n) Korrektur
1 86 Satz 11.3: Ergänze ... und $j=1,\dots,n$.
2 88 Abbildung 11.5: Die Bezeichnungen $T_3$ und $T_4$ sind vertauscht.
3 * 89 Beweis von Satz 11.4: ... mit wechselndem Vorzeichen annimmt ... gilt, folgt dass $s_0,s_1,\dots,s_n$ keine Nullstellen von $p$ sind und die Funktionswerte alternierende Vorzeichen haben.
4 * 91 Satz 11.6: Ersetze $\prod_{i=0}^n \abs{x-x_i}^{\ell+1}$ durch $(b-a)^{N+1}$ in zweiter Formel.
5 * 113 Beispiel 14.2: Ersetze $f(a_\ell)-f(a_{\ell-1})$ durch $f(a_\ell)+f(a_{\ell-1})$.
6 114 Beweis von Lemma 14.1: Ersetze $I(f)>0$ und $Q(f)=0$ durch $I(p)>0$ und $Q(p) = 0$.
7 119 Beispiel 14.7: Abbildung 14.4 (statt eine Skizze) zeigt; Komma nach $(h,e_h)$.
8 125 Beweis von Satz 15.2: ... mit einer Funktion $\vphi:\R^n\to \R^n$, die $\vphi(z) \le {c_2} \norm{z}^2$ erfüllt; ersetze $\vphi(\norm{x^\star-x^k})$ durch $\vphi(x^\star-x^k)$.
9 128 Satz 15.4: Ersetze $\norm{D^2f(x)}$ durch $\norm{D^2g(x)}$.
10 131 Korrigiere: Mit einer Variante des Abstiegsverfahrens erhält man ...
11 136 Beweis von Satz 16.1: Ersetze $-c_2 A^2 - c_kA^k$ durch $-c_2 A^2 ... - c_kA^k$ in vorletzter Formel.
12 139 Anwendung 16.1: Ersetze zur normierten Anzahl $h^{-2}$ der Partikel durch invers proportional zum Flächeninhalt $h^2$.
13 75 Beispiel 10.1: Zur Betrachtung des relativen Fehlers am Punkt $x=1$ sind die Funktionen $\phi(x) = \abs{x-1}^s+1$ in (i) und $\phi(x)={\rm sign}(x-1)+2$ in (ii) besser geeignet.
14 * 77 Bemerkung 10.2 (ii): Für normalisierte Gleitkommazahlen $g$ gilt $g_\min \le \abs{g} \le g_\max$ mit $g_\min= b^{e_\min-1}$ und $g_\max = b^{e_\max}(1-b^{-p})$. Im Fall $b=2$, $e_\min=0$, $e_\max = 3$, $p=2$ sind die normalisierten Gleitkommazahlen gegeben durch $\pm \set{2/4,3/4,2/2,3/2,2/1,3/1,2\cdot 2,3\cdot 2}$, die Menge der nicht-normalisierten Gleitkommazahlen enthalt zusätzlich die Zahlen $\pm \set{0,1/4}$.
15 78 Beispiel 10.5. (i): Die Aussage gilt für normalisierte Gleitkommazahlen zwischen $b^e$ und $b^{e+1}$ mit $e_\min-1 \le e \le e_\max -1$.
16 79 Beweis zu Lemma 10.1: Ersetze Maschinenzahlen durch normalisierte Gleitkommazahlen
17 86 Beispiel 11.1: Ein einfacheres Beispiel ist durch die Funktion $f(x) = \ln(x)$ im Intervall $[1,2]$ gegeben.
18 89 Abbildung 11.6 (links): Der erste Punkt sollte auf dem Halbkreis beim Bogenabschnitt $\pi/18$ liegen und die weiteren in Abständen von $\pi/9$ folgen, sodass insgesamt neun Punkte gleichverteilt auf dem Halbkreis liegen (Skizze), denn es wird das Polynom $T_{n+1}$ mit $n=8$ betrachtet.
19 91 Satz 11.6: In der Fehlerabschätzung ist auf der rechten Seite das Maximum des Produkts auf dem Intervall $[a,b]$ zu betrachten.
20 98 Satz 12.5: In der letzten Formel des Satzes ist das Argument $(x)$ zu ergänzen.
21 111 Dritte Formel: Die Anwendung der Quadraturformel ist mit $Q(f)$ zu bezeichnen.
22 116 Die Anwendungen des Integrals und der Quadraturformel sollten mit $I_\omega(f)$ beziehungsweise $Q_\omega(f)$ bezeichnet werden.
23 135 Alg. 16.1: Das Abbruchkriterium ist durch $\norm{Ax^k-b}/\norm{b} = \norm{r^k}/\norm{b} \le \veps_{stop}$ zu ersetzen.
24 145 Alg. 17.2: Man beachte, dass die unvollständige Cholesky-Zerlegung ohne weitere Voraussetzungen an $A$ nicht regulär sein muss, was als Pivot-Breakdown bezeichnet wird.
25 89 Zusatz zum Satz beginnend mit Die Nullstellen: ... des Satzes, der zeigt, dass für sie die Supremumsnorm des Stützstellenpolynoms minimal ist.

Teil III: Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen

Nr. Rel. Seite(n) Korrektur
1 162 Bemerkung 19.1: Ersetze zweites (iii) durch (iv).
2 * 188 Abschnitt 22.2: Streiche mittiges $\alpha_\ell$ in der Formel nach ``Die rechte Seite ...''.
3 * 190 Tabelle 22.2: Ersetze unterste Zeile >>0 0<< durch >>1/2 1/2<< (ganz rechts).
4 203/204 Tabelle 23.1 und 23.2: Vertausche Beschreibungen.
5 209 Beispiel 24.1: Für die Startwerte $y_0 = 1$ und $y_1 = (1+\delta)$ ergeben sich die Linearkoeffizienten $\gamma_1 = 1+\delta/6$ und ...
6 212 Satz 24.1: ... sodass mit der durch die Norm $\Rnorm{\cdot}:x\mapsto \norm{Rx}_\infty$ induzierten ...
7 * 188 S. 188 (oben): Ersetze $\tau^2/4$ durch $\tau^2/8$ (zweimal).
8 * 190 Tab. 22.2: Vertausche erste und zweite Zeile.
9 190 Bemerkung 22.3: Ersetze $t$ durch $t_k$.
10 * 202 Beweis von Satz 23.1: Ersetze $f(t_k,z(t_{k+\ell}))$ durch $f(t_{k+\ell},z(t_{k+\ell}))$.
11 * 205 Beweis von Satz 23.2: Ersetze $z(t_k)$ durch $z(t_{k+m-1})$ (dreimal) und ersetze $\cO(\tau^{m+1})$ durch $\cO(\tau^{m+2})$ (zweimal).
12 209 Beispiel 24.1: Streiche drei und z_k=1.
13 210 Bemerkung 24.2: Ergänze: ... (halb-) einfach sind, das heißt ihre algebraischen den geometrischen Vielfachheiten entsprechen.
14 * 214 Beweis von Satz 24.2: Ersetze $c''$ durch $c'$ und $c'''$ durch $c''$ sowie $2(c''-c')$ durch $4 c'$.
15 218 Definition 25.1: Ergänze: ... Jacobi-Matrix ... bezüglich $y$ ...
16 218 Bemerkung 25.1: Ergänze: ... kleine Werte $s\ge 0$ im Fall einer autonomen Gleichung ...
17 221 Beweis von Satz 25.1: Korrigiere Sei $\lambda \in \C$ mit $\abs{\lambda}=1$. und ergänze $\abs{y(\tau)-y_1}\le c \tau^{p+1} = c \abs{\tau \lambda}^{p+1}$.
18 * 222 Mitte: Ersetze unbedingt durch für $\tau<1/\mu$.
19 223 Bemerkung 25.3 (i): Ersetze: Im Fall der Beschränktheit $G\ge -c$ folgt durch Aus der Koerzivität von $G$ folgt.

Teil IV: Aufgabensammlungen

Nr. Rel. Seite(n) Korrektur
1 * 247 Aufgabe 28.2.1 (iv): Ersetze Spektralnorm durch Spektralradius. Zusatz: Zeigen Sie, dass diese Aussage für die Spektralnorm im Allgemeinen nicht gilt.
2 267 Aufgabe 28.8.3 (ii): ... ein Eigenvektor der symmetrischen Matrix $A\in \R^{n\times n}$ ...
3 269 Aufgabe 28.8.9: Ersetze $\norm{\cdot}_F$ durch $\frobnorm$ (dreimal).
4 276 Aufgabe 29.1.8: Die Gleitkommaaddition sei durch $(x+_Gy) = {\rm rd}(x+y)$ gegeben.
5 * 278 Aufgabe 29.2.5: Im Fall $n$ ungerade ist der Faktor $(-1)^{n/2}$ durch den Faktor $(-1)^{(n+1)/2}$ zu ersetzen. Statt der Formel $\sin(x)\cos(x)=(1/2)\sin(2x)$ sollte die allgemeinere Formel $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ bereitgestellt werden.

Teil V: Anhänge

Nr. Rel. Seite(n) Korrektur
1 * 336 Erste Formel: Ergänze Faktor $v_{ij}$ in Laplacescher Entwicklungsformel $\det V = ...$.
2 337 Mitte: In diesem Fall haben $A$ und $D$ dieselben Eigenwerte und diese sind durch ...
3 * 341 Abschnitt 32.4: $\ell$-fache Nullstelle ... falls ... $f^{(j)}(x_0)=0$ für $j = 0,\dots,\ell-1$.
4 343-349 Eine Einführung in die Sprache C++ findet sich im pdf-Dokument cpp-intro.pdf.
5 * 359-367 Versionen der Beispielprogramme in C++: lu_solution.cc, neville_scheme.cc, implicit_euler.cc

Danksagung

Vielen Dank für wertvolle Korrekturhinweise an: Julian Baier und Patrick Dondl