Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen

Dozent: Prof. Dr. P. Dondl
Termin: Di, Do 10-12 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Sprechstunde: Mi 11-13 Uhr und n.V., Zi. 227, Hermann-Herder-Str. 10
Übungen: Mo 10-12 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Tutorium: J. Daube
Sprechstunde:
Fr 14-17 Uhr und n. V., Zi. 212, Hermann-Herder-Str. 10

 

 

Aktuelles

Keine Vorlesung am 26. und 28. Januar! Vsl. Ersatztermine: 20. Januar und 3. Februar, jeweils 12-2 Uhr st(!) im Raum 227, Hermann-Herder-Str. 10.

Inhalte

Im ersten Teil dieser Vorlesung betrachten wir analytische und numerische Methoden um parabolische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, also natürliche Verallgemeinerungen der Wärmeleitungsgleichung, zu behandeln. Wir zeigen insbesondere Existenz und Eindeutigkeit, sowie Regularität, von schwachen Lösungen solcher Gleichungen und entwickeln darauf aufbauend numerische Verfahren.

Im zweiten Teil behandeln wir nichtlineare elliptische Variationsprobleme und deren Gradientenflüsse. Ein besonderer Fokus in diesem Teil liegt in Modellen aus der Elastizitätstheorie und in Modellen, bei denen ein Grenzübergang mit einem kleinen Parameter auftritt. Am Beispiel der Modica-Mortola-Energie lernen wir hier die analytische Methode der Gamma-Konvergenz kennen.

Einzelne Vorlesungen

  1. Vorstellung des parabolischen Anfangs- und Randwertproblems; Grundannahmen (an Gebiet, Koeffizienten, etc.); fundamentale Energieabschätzung.
  2. Gelfand'sche Tripel; der Raum H-1.
  3. Bochner-Messbarkeit; Bochner-Integral; Schwach-Stark-Messbarkeit (Pettis).
  4. Satz von Bochner; Lp-Räume mit Werten in Banachräumen; Dualraum in einem speziellen Fall.
  5. Verallgemeinerte Zeitableitung; der Raum W.
  6. Einbettungssätze für den Raum W, Schwache Lösungen: Definition, Galerkin-Approximation.
  7. Energieabschätzung für die Galerkin-Approximation, Limes
  8. H-1-Abschätzung, Eindeutigkeit von schwachen Lösungen
  9. Orthogonale Basisfunktionen, Spektrales Problem für den Laplaceoperator
  10. Regularität von schwachen Lösungen I
  11. Regularität von schwachen Lösungen II
  12. Abschließende Bemerkungen zur Regularität sowie zu Randbedingungen, Vorstellung des MATLAB-Codes
  13. Konvergenzabschätzungen des numerischen Verfahrens: Vorbemerkungen, Einführung
  14. Konvergenzabschätzungen des numerischen Verfahrens: Beweis der Konvergenz in Funktion und Gradient
  15. Zeitschrittverfahren von höherer Ordnung 
  16. Zeitschrittverfahren von höherer Ordnung II
  17. A-Priori-Abschätzungen für semilineare parabolische Gleichungen
  18. Aubin-Lions und Existenz für semilineare parabolische Gleichungen
  19. Allen-Cahn-Gleichung, Code
  20. Variationsrechnung: Euler-Lagrange-Gleichungen
  21. Minimierer lösen Euler-Lagrange-Gleichungen
  22. Schwache Unterhalbstetigkeit, Existenz von Minimierern für konvexe Funktionale
  23. Nichtkonvexe Funktionale - ein Beispiel aus der Elastizitätstheorie
  24. Cauchy-Born-Regel, Nichtkonvexität von Elastizitätsfunktionalen in der Elastizitätstheorie
  25. Determinanten sind Nulllagrangefunktionen, Existenz von Minimierern für polykonvexe Funktionale
  26. Modica-Mortola-Energie, Einführung
  27. Liminf und Limsup für Modica-Mortola
  28. Gamma-Konvergenz, Definition und Eigenschaften
  29. Konvergenz von Minimierern
  30. Abschließend Bemerkungen zur Gamma-Konvergenz und zur Allen-Cahn-Gleichung 

 

 

 

Übungsgruppen

 
 
Gruppe Zeit Raum Tutorin/Tutor
1 Mo 10-12 SR 226 (Hermann-Herder-Str. 10) Hannes Eberlein

 

 

Übungsblätter

 
Blatt Ausgabe Abgabe
Blatt 1  20.10.2015  27.10.2015
Blatt 2  27.10.2015  3.11.2015
Blatt 3  3.11.2015  10.11.2015
Blatt 4  10.11.2015  17.11.2015
Blatt 5  17.11.2015  24.11.2015
Blatt 6  24.11.2015  01.12.2015
Blatt 7  01.12.2015  08.12.2015
Blatt 8  08.12.2015  15.12.2015
Blatt 9  15.12.2015  22.12.2015
Blatt 10  22.12.2015  12.01.2016
Blatt 11  12.01.2016  19.01.2016
Blatt 12  19.01.2016  26.01.2016 bzw. 02.02.2016

 

Tippfehler (korrigiert in den aktuell abrufbaren PDFs): In Aufgabe 43 ist z in Rn, Aufgabe 44 ist schwer und bekommt deshalb einen Stern (ist also optional).

 

Code

 MATLAB-Code heat_1.m
  Python-Code (nur elliptisch, Dateiendung muss geändert werden) FEM2D.py
 (Ein sehr einfacher und langsamer) MATLAB-Code für Allen-Cahn allen_cahn.m

 

Literatur

  1. L.C. Evans : Partial Differential Equations (2nd edition). American Mathematical Society 2010.
  2. D. Braess : Finite Elemente : Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. Springer 2013.
  3. V. Thomee : Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer 2010.
  4. A. Braides : Gamma-Convergence for Beginners. Oxford University Press 2002.