Einführung in Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen

Die Vorlesung beschäftigt sich mit der numerischen Approximation von Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Behandlung des Poisson-Problems mit der Methode der Finiten Elemente. Diese Differentialgleichung beschreibt zum Beispiel stationäre Wärmeverteilungen und Diffusionsprozesse. Die numerische Lösung basiert auf einer Variationsformulierung und einer Zerlegung des physikalischen Gebiets in Dreiecke oder Tetraeder. Damit wird ein kontinuierliches, unendlich-dimensionales Problem durch ein endlich-dimensionales lineares Gleichungssystem approximiert, welches dann effizient am Rechner gelöst werden kann. Die Genauigkeit der Approximation in Abhängigkeit der analytischen Eigenschaften der kontinuierlichen Lösung und die iterative Lösung des linearen Gleichungssystems sind Schwerpunkte der Vorlesung. Die Vorlesung ist so konzipiert, dass auch Lehramtsstudierende, die die Vorlesung Mehrfachintegrale gehört haben, daran teilnehmen können.

Im Praktikum sollen die in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dazu wird die Programmiersprache C oder die kommerzielle Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme verwendet. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Für diese Veranstaltung ist ein hybrides Format angedacht, sofern die Corona-Zahlen dies zulassen:

• Die Vorlesung wird digital gehalten, die Vorlesungsvideos werden im Laufe des Semesters auf dieser Seite hochgeladen und sind mit einem Passwort aufrufbar. Das Passwort wird per E-Mail verschickt, bitte belegen Sie dafür die Vorlesung auf HisinOne.
• Zusätzlich wird geplant, alle 2-3 Wochen eine Fragestunde in Präsenz anzubieten (Mo 10-12).
• Die Tutorate werden in Präsenz stattfinden.

Es ist abhängig von der künftigen Entwicklung der Corona-bedingten Einschränkungen immer möglich, dass die Veranstaltung (mit Ausnahme der Klausur) vollständig auf ein Online-Format umsteigen muss. Wir bemühen uns um einen vernünftigen Studienbetrieb und bitten Sie, sich bei allen Anliegen möglichst frühzeitig an die Assistentin zu wenden.

• Die Vorlesung ist orientiert am Buch Numerical Approximation of Partial Differential Equations (aus dem Uninetz, per VPN, oder über die Uni-Bibliothek verfügbar) und umfasst dabei Teil I, d.h. die Kapitel 1–3.
• Bitte beachten Sie die Übersicht über Korrekturen zum Buch.

Sie können alle Video-Dateien auch herunterladen, indem Sie (zumindest in Firefox) mit der rechten Maustaste auf die Videos klicken.

Numerik und Analysis III bzw. Mehrfachintegrale.

Bitte beachten Sie, dass die rechtsverbindlichen Anforderungen ausschließlich in den Ergänzungen zum Modulhandbuch aufgeführt werden.

Studienleistung Vorlesung

• Für alle Module und Studiengänge: Erreichen von mindestens 50% der zu vergebenden Punkte auf den Übungsblättern, mindestens einmal vorrechnen, sowie jeder Aufforderung dazu seitens der Tutor:in nachzukommen.
• Für das Wahlmodul im 2-HF-Bachelor zusätzlich: Bestehen der Klausur am Ende des Semesters.

Prüfungsleistung Vorlesung

• Bestehen der Klausur am Ende des Semesters.
• Für das Modul Mathematische Vertiefung im M.Ed. stattdessen: Mündliche Abschlussprüfung (30 Min.).
• Für M.Sc. stattdessen: Mündliche Abschlussprüfung (30 Min) (Kategorie III)

Studienleistung Praktikum

• Erreichen von mind. 50% der zu vergebenden Punkte.
• Regelmäßige aktive Teilnahme am Praktikum. Insbesondere sollten Sie in der Lage sein, Ihre Programmcodes auf Nachfrage im Praktikum zu erläutern.

• S. Bartels: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer 2016
• D. Braess: Finite Elemente, Springer 2007
• S. Brenner, R. Scott: Finite Elements, Springer 2008
• M. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis, Springer 2005
• L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 2010